音乐数学物理老毕和二（一）

音乐数学物理老毕和二（一）

文：林炎平（蒙特利尔）

编者注：本文作者试图从美的最基本的基础之一——音乐的音程出发，去探讨人类科学和美的关系，他发现毕达哥拉斯是必要的起点。作者用了一些调侃的语言，希望这个有趣的话题不至于过于艰涩。

从那个很二的老毕说起

多年前，有一个很二的叫林炎平的人，发现了音乐的音阶其实并非基于12平均律，而是另外一种规律。他觉得这简直是革命性的发现。为了确保在告诉别人之前确认是前人没有做过的工作，他去查了资料。结果很受打击，因为在2600年以前，已经有一个叫“老毕”的人做了这个工作。2600年啊！都2600年过去了，你还重新发现，这不是重新发明轮子吗？

是的，是2600年以前的一个叫“老毕”的人发现并论证的。最近“老毕”这个名字很火，但是此“老毕”不是彼“老毕”，而是那个如雷贯耳的毕达哥拉斯！如果你现在还不知道这个毕达哥拉斯是干什么的，请立即停止阅读，回去重上初中。

此“老毕”不是彼“老毕”

说到这老毕，也就是毕达哥拉斯，我气就不打一处来。这小子先是毁了“勾股定理”的华夏发明权，现在又毁了林炎平的音阶发现权。

说到“勾股定理”，中国人都知道。兴许一些人也知道那其实是毕达哥拉斯首先证明的，因此实际上是“毕达哥拉斯定理”，因为这个老毕先给出了普遍的证明：



亦即：两个直角边的平方和等于斜边的平方。而我们华夏的祖先只是发现了“勾三股四弦五”，亦即：如果两个直角边分别是3和4，那么斜边就是5。但这只是直角三角形的一个特例，不是普适的充分必要条件。知道“普适”吗？知道“充分必要”吗？都是老毕和这些很二的古希腊人的理念。

老毕肯定是一个有钱的疯子：据说他为了这定理的证明花费了不少心血和时间，完了还宰了100头牛庆祝。你说你证明这干嘛呀？“勾三股四弦五”不就够了吗？再说埃及和两河流域的人更早就已经知道几十种构成直角三角形的边长关系，你费这么多的神整那个普遍的证明干嘛？还宰牛庆祝？不仅疯了，而且不轻。你不懂“民以食为天”吗？整这定理是能吃还是能喝？

老毕是疯子另一个证据是，他居然认为这个世界是由数组成的。他自己疯了还不够，还成立了一个学派，网罗了一群门徒，让大家和他一起发疯。因此他的学派里的弟子也都是疯子。你造吗？老毕有个弟子，觉得当时有关数的理论还不够疯，居然心怀不满。当时认为：所有的正数都可以表达为正整数组成的分数。也就是说，任何小数都可以表达为B/A(B比A)。这看起来很合理啊。比如：

1.5=3/2
1.33333…=4/3

但这位弟子不这么认为，他有一天终于找到了别出心裁恶作剧的办法，证明了“根号二”不能表达为B/A。你说你和根号二过不去干嘛，不就是证明你比根号二还要二吗？啊？这二哥是这样证明的：

他用的是反证法，反正这个“反证法”也是这些疯子们发明的，这群疯子我们权且叫他们“希腊疯子”，因为那块地方那个时代盛产疯子，而别的地方找这样的疯子极其困难。

假设根号二可以表达为B/A，其中B和A都是正整数而且没有公约数。（假设很逻辑，他们那种疯子的特点就是很逻辑严谨想象力丰富。）亦即：

√2=B/A

那么



你看见了吗？这公式里一共就6个符号，其中就有三个2，这就足够证明老毕和老毕学派有多么“二”了。好了，这小子继续：

因此，B一定是偶数（B的平方是偶数，那么B当然是偶数），于是可以将B表示为“2b”（b是正整数），你看见了吗？2b！又是一个二，而且是“二b”。无疑“2b”是那个时候开始的。我们继续，上式就变为：



亦即



因此A也必定是偶数。由于A和B都是偶数，那么它们就有了公约数，于是和我们一开始的假设不符。因此，√2不可能表达为B/A。

结论：根号二不可能是有限循环小数。也就是说根号二是无限的不循环的小数。尼玛！

于是，“无理数”的概念诞生了！

你说这多二啊！简直令人痛心疾首啊！好好的世界就让老毕和他的门徒给毁了。本来好好的只有有理数的世界，从此没了。无理数啊！就这个名字就该多让人痛恨啊？老毕不是疯子是神马？毕达哥拉斯学派不是疯子是神马？那群希腊人不是疯子是神马？

那群“希腊疯子”

连老毕的另外一些徒弟都看不下去了，他们把这个发现无理数的小子扔进了爱琴海里，喝饱了水才捞上来，不知算是惩罚还是奖励，反正总归很二就是了。

但是世界上可能只记得疯子的事情，弄得2600年后的今天我们每人都学过这个证明，不过我们没有他那么二得不成样子，基本上学了也就忘记了。我们又回归正常了，又“民以食为天”了。记得以上证明的童鞋们请举手！没有？基本没有？这就对了。回去补习吧！

自从知道“毕达哥拉斯”定理后，我就恨上了老毕和古希腊。你整这个没用的干啥？你要是不整，700年后的东汉赵爽的证明不就拔了头筹吗？那样，“勾股定理”不就会是华夏的了吗？啊！

想不到更加痛恨的是后来。我以为发现了音乐音阶的秘密，结果一查，这老毕早就干过了，你说你2600年前整这事情干嘛？你说我现在整这事情是吃饱了撑的，还算有理由。你们那个时候吃穿都不富裕，居然不“以食为天”，却去整这些不能吃不能喝的。疯子，一群疯子！一群深井冰啊！

老毕的音阶理论

骂完了老毕，总也得描写一下当时的老毕都是如何发现音阶的秘密的。也顺便吹一吹林炎平是如何重新发现老毕早就发现的音阶构成的秘密的。

童鞋们，我们知道并不是所有频率的音都可以组成乐音。那么到底什么频率的音可以组成乐音呢？老毕是这样认为的：

如果音符1（do）的频率是f，那么上行1/2，也就是f乘以（1+1/2），就是另一个乐音，那就是5（so）；（看见没有，又是2。如果你不足够二，到此为止，回去洗洗睡吧，不要再读下去了。）然后你再上行1/2，那就是2（re）；继续，就是6（la）；再继续，就是3（me）；然后是7（si）。再继续，就是#4了。

当然也可以下行，1（do）的频率除以（1+1/2），就是4（fa）；继续，就是降7（si）；再继续就是降3（me）。

我们就暂时到这里，因为再继续，很多人就要疯掉了成为“深井冰”了。“深井冰”的意思就是“不断深入进行，然后越来越冰凉了”。就是这个意思。

老毕说，所有的乐音都是这样形成的。我们看看上面，实际上已经形成了所有大调音阶，1,2,3,4,5,6,7，甚至包括#4，b7和b3。

老毕说，为什么会是这样呢？因为1/2的音程是完全协和音，这样的音当然好听，因为协和或者叫和谐么。我们现在把这个1/2的频率音程叫做“纯五度”。

因为和谐（harmony）如此之好，对音乐如此重要，以致现在的交响乐团多用这个词根，称作“philharmonic”，亦即希腊语的“philia”（爱）加上希腊语的“harmony”（和谐）。听说过“柏林爱乐乐团”吗？就是这个词；听说过“卡拉扬”吗？就是这个乐团的“子飞”。记得这哥们的名言吗？“没有不好的乐团，只有不好的指挥。”意思就是好的子飞发现乐团里有人技术不行态度不对就直接开除了，不开除的限期达标，不达标的继续开除。啊？哦，其实不完全是这样，一个不是很出色的乐团在一个很好的指挥手里就成为了另外一个乐团。就如同不怎么会打仗的美国北非集团军到了巴顿手下就成了威武之师了。

和谐如此之好，好人坏人都要用；就比如科学（另外一个古希腊创造）如此之好，反科学的也要标榜自己科学。就如同冰箱席梦思抽水马桶如此之好，以致东方西方都要用，反西化的也用：白天声嘶力竭高喊反西化，晚上睡在席梦思上。慈禧太后当年没有冰箱，就只好在冬天库存很多冰供她夏天享用。如果有冰箱，叶赫那拉氏万岁万岁万万岁也肯定第一个用。于是和谐就变成现在的“河蟹”了，这解释了一个伟大的理念是如何被吃货贬值为食品的。至于抽水马桶，至今还有哪个国学卫道士蹲在茅坑上拉屎吗？

言归正传，如下是老毕方法的音阶相对频率和绝对频率表，以及12平均律的相对频率和绝对频率表。这是使得童鞋们变“二”的第一步，先不要管12平均律，那样会立即变疯的。我们的策略是逐步变疯：

图表1：频率和音高的关系以及毕达哥拉斯音阶和12平均律音阶的误差

左列中的Middle C是钢琴上中间的那个C，那个A440是一个非常重要的音符，其是一个绝对音高，是后人规定的标准。就如同测量海拔一定要有海平面，没有它就不知道山峰的海拔高度了。而A440就是测量音阶的基准，所有别的音高都是根据它衍生的相对值。A440也就是大A音符，其频率定为440Hz。知道Hz吗？中文译作赫兹，是一个德国科学家的名字，为了纪念他而以此作为频率的符号。440Hz就是每秒震动440周。

如果记不住这个频率，就想想“二”，再看看这个440。

440 = 2 X 220

这得多“二”啊！我相信你已经记住了。记住，如果不足够二，那么你既不能搞音乐，也不能搞数学，也不能搞物理。就这么简单。所以柏拉图当年的学园里必须要学数学和音乐，如果不懂数学那是绝对不合格的，因为你不懂数学和音乐就一定会成为一个坏人或者是蠢蛋。童鞋们，这是否有点太严厉？但是不能说人家不对吧？

（未完待续）