音乐数学物理老毕和二（四）

音乐数学物理老毕和二（四）

文：林炎平（蒙特利尔）

编者注：本文作者试图从美的最基本的基础之一——音乐的音程出发，去探讨人类科学和美的关系，他发现毕达哥拉斯是必要的起点。作者用了一些调侃的语言，希望这个有趣的话题不至于过于艰涩。

毕达哥拉斯幽灵

我们这个世界只是数的规律的表象。毕达哥拉斯肯定会说这句话。

在毕达哥拉斯的那个弟子发现了无理数之后的2000年，人们又发明了另外一个更加不可思议的数，这就是虚数。我在这里之所以说无理数是“发现”，而虚数是“发明”，这是因为无理数是自然存在的，而虚数是我们为了使用而发明的。当然你也可以争辩：其实所有的数都是发明的。

虚数的单位是 ，它等于“根号-1”（√(-1)）。我知道你肯定说这个发明这个的人比毕达哥拉斯的那个弟子还要“二”。确实，-1是没有平方根的，但是为什么我们不制造一个平方根，规定它的平方就是“-1”？你不开心吗？那你就不开心吧。

事实证明，这个 的作用极大，使得原来的数一下子从一维扩展到了二维。你这会看出来了，“二”又来了。没有了这个虚数，拉普拉斯变换也就不可能产生，没有了拉普拉斯变换，电子学电工学和控制论都可以歇菜了。因此我们看到，数学是多么伟大。伽利略没有错，毕达哥拉斯没有错。

这些都太枯燥了，这样下去真的读者都跑光了。你如果现在还没有跑掉，那么你已经是那5%坚持到最后的。先别跑，这就结束了。

但是在结束前，我们一定要给大家看一个伟大的方程，这就是欧拉方程。

我们知道，在所有的数中，有5个是最重要的常数，它们是：0,1，π（圆周率3.141592…），e（自然对数的底2.718281828…）， i（虚数单位√(-1)）。其中两个有理数，两个无理数，一个虚数。欧拉居然把他们写在了一个方程式里。而且，在这个方程式里只有它们，外加一个加号和一个等号：



你还不相信上帝通过数学创造了宇宙吗？如果你还不信，那么我们来看一下“黄金分割”和“斐波那契级数”。黄金分割和斐波那契级数其实是一回事。看过《达芬奇密码》的人一定知道斐波那契级数，那是文艺复兴前夕的意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci 1170 -  1250）发明和发现的。

斐波那契级数是这样的：
1，1，2，3，5，8，13，21……Fn

其中


黄金分割则是由古希腊人发现的，也和毕达哥拉斯有关，欧几里得对其是这样定义的：

将某个长度被切成两部分，使得整体比长局部等于长局部比短局部，那么这个比例就是黄金分割。求解可以获得这个比例



有意思的是，在斐波那契级数中，后一项和前一项的比，随着n的增加，总是在黄金分割值上下浮动，而且逐渐接近黄金分割值，最后在n趋于无穷时收敛于黄金分割值。

上面我们提到了欧几里得。这是一位在毕达哥拉斯之后的“二”的集大成者。他的《几何原本》在2000多年后的今天还在原封不动地作为教科书教导我们。欧几里得几何是“普世价值”的最好诠释，不管你是什么民族什么地位什么肤色什么信仰，你都必须学习欧几里得几何。（当然你可以说还有“非欧几何”，亦即“双曲几何”和“椭圆几何”。没错，这是欧几里得几何的两个“孙子”，但这是另外一回事，这里就不多说了。）欧几里得几何是逻辑思维的榜样和科学方法的典范。

顺便说一句，欧几里得用不到10行字词，就证明了素数的个数是无穷的。有兴趣的自己查找，那方法绝妙无比，用的也是我们开篇举例中的“反证法”，实在是精彩绝伦光辉夺目，这里不予展示，免得亮瞎你的双眼。

当代的“好事之徒”们认为斐波那契级数和黄金分割是伟大画家们实际遵守的规则，不管是有意识的还是下意识的。那个海螺式的图形就是所谓斐波那契级数“地砖”。他们号称波特切利和达芬奇就是按照这个规则构图的，因此这是美术的Canon。

至于达芬奇，这是一位我们不需要讨论的人。他是伟大的画家，这是大家都知道的，《蒙娜•丽莎》和《最后的晚餐》都是大家耳熟能详的。但他还是工程师、生物学家、解剖学家、建筑师……，还有，他是一位出色的数学家。看到没有？数学！看到毕达哥拉斯的影子了吗？这位伟大天才的事迹和创造实在太多太精彩，建议童鞋们找来看看。

图表7：达芬奇的绘画和手稿

我刚才提到了毕达哥拉斯的“影子”，那其实不是影子，而是幽灵。这是毕达哥拉斯幽灵，一个古希腊幽灵，诞生于古希腊的爱琴海，穿越过漫长的中世纪，发轫于文艺复兴时代，滥觞于我们现代。我们到处都有这样幽灵，到处都受惠于这个幽灵，比如自由平等博爱民主科学公民。当然包括我们说的音乐数学物理，还有绘画。这个幽灵的副作用就是很“二”，它根本不知道“以食为天”，从不安分守己，时刻异想天开，到处寻衅滋事。

我想说的是，如果你喜欢音乐，请向毕达哥拉斯致敬，向“二”致敬。如果你不喜欢音乐，那么是你开始喜欢音乐的时候了。因此，也是你开始喜欢毕达哥拉斯和他的幽灵的时候了。