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音乐 数学 物理 老毕 和 二（二）
文：林炎平（蒙特利尔）
编者注：本文作者试图从美的最基本的基础之一——音乐的音程出发，去探讨人类科学和美的关系，他发现毕达哥拉斯是必要的起点。作者用了一些调侃的语言，希望这个有趣的话题不至于过于艰涩。
老毕的麻烦
现在我们知道，“1”（do）乘以(1+1/2)，就成了“5”（so），我们一直这样乘，就可以得到所有的音阶。
图表2：老毕音阶的上行和下行的误差
我这里只列出了自然音阶，加上#F，别的半音阶我都没有列出。读者可以自己试试，只要不断继续乘以(1+1/2)，就可以得到所有的音阶。但问题是，高音c（do），按照老毕自己的理论，必须是中音C的二倍。（这里我们再次出现2，整个音乐实际上就是由2组成的，不二就没有音乐）。但是，我们一直乘以(1+1/2)（包括超过音域后不断除以2以使得其回到我们需要的八度中）得到的高音c（do）的频率参数是202.73，而不是200。同样，上行得到的F和下行得到的F也是如此，前者是135.15，而后者是133.33。
这就是老毕音阶的麻烦。本来这也没有什么，我们上行得到一部分音阶，除F（fa）以外，而下行得到F，就是完整的自然音阶了。最多再多上行和下行几步，就可以得到所有的12音阶。但是，这个环是不封闭的。也就是我们刚才看到的，上行得到的F和下行得到的F有大约2%的误差。
这本来是一个不是问题的问题，其并不影响我们对音乐的欣赏。但依旧是一件不完美的事情，尤其是对古希腊人，这样的不完美是不可容忍的。这不是由于在现实生活中对他们产生了什么负面的影响，一点都没有。但是从理论上，古希腊人不容忍这样的不完美。但是老毕无法解决它。老毕其实也没有试图采取任何妥协的方式来缓解它，因为对古希腊人来说，这样的妥协是不可容忍的。
但是这样的妥协在17世纪就变得十分现实了。特别在制作键盘乐器这样的有固定音阶的乐器的时候，上行的半音和下行的半音不相等就等于固定音阶的定位问题。比如，#6和b7不是一个频率，而是差了2%弱。显然不可能为了这不到2%的误差在6和7之间制作两个键，而且这两个键所发出的音频的差异是人的耳朵无法辨别的。
12平均律的产生
正是这样的麻烦，导致了一个折衷的方案，毕竟，总不能为了这人耳无法辨别的2%频率误差再在A（6）和B（7）之间做出两个琴键（如果是钢琴的话）。用12平均律音阶代替老毕的音阶，实际上就是用可以容忍的错误代替过于麻烦的正确。在人类社会中这样的例子比比皆是。
现在我们回到图一来看看这些频率：老毕的参数和频率都是有理数，而12平均律的参数和频率（除了A440外）都是无理数。因此老毕的音程都是有理数，而12平均律的音程都是无理数。
老毕的音程生成是按照某一个主音的频率开始，然后不断乘以（1+1/2），就可以了。
12平均律就更加简单，其关键是一个参数
，亦即2开12次方，然后在某一个主音的频率上不断乘以这个参数即可。比如2（re）的频率，就是在1（do）的频率上乘以两次，亦即
而5（so）的频率，就是乘以7次，亦即
那么这个
是如何产生的？实际上，“12平均律”就是把中音C和高音c之间的频率“平均”分成12个间隔，就是这样产生的，这也就是其名字的由来。但是这12等分不是算术等分，而是几何等分。也就是说，每一个音符的频率和前一个音符的频率之比例相等，而不是差额相等。我们根据这个原理，就可以计算这个比例：
即：
这就是“十二平均律”的关键比例的由来。至于为什么相邻音符的频率增减的比例相同而不是增减的差额相同，这完全是由于我们的耳朵对音程的感觉和分辨。我们的感觉是和几何差距相关而不是和算术差距相关。比如我们对声音的强度就是如此，50分贝比40分贝实际上音强增加了10倍，50分贝比30分贝增强了100倍，但是我们感觉到的却是40分贝比30分贝所增强的和50分贝比40分贝所增强的是等值的。再比如，你在10岁的时候对一年的感觉，和你在50岁的时候对5年的长度感觉是一样的。所以小时候觉得一年很长，而大了以后觉得一年很短，越随着年龄增加，越觉得日子飞快。再比如涨工资，你一个月拿$1000的时候，给你涨$1000，那是什么感觉？简直是欣喜若狂。但是当你一个月拿$100,000的时候再给你涨$1,000，你肯定无动于衷甚至嗤之以鼻。贪得无厌就是这样来的，越多就觉得越不够多。紧跟多多益善的就是快快完蛋。
但是也有不贪的，那些很二的就属于这样的人。可喜的是，中国也有这样比较二的人。据说12平均律的最先提出者是中国明朝的皇孙朱载堉，他是明朝开国皇帝朱元璋的九世孙。如果真的是这样，那么朱载堉是中国皇家里最“二”的皇孙，和唐玄宗完全可以媲美。当然，在中国这些很“二”的都没有什么好的结局，唐玄宗弄了个安史之乱，连自己心爱的女人也没有保住。朱载堉也不可能当上什么皇帝。因此中国的问题是“二”的人没有什么好结局，因此“二”的人越来越少。不像希腊人，你不二，就不能独树一帜受人尊重。于是“二”的人越来越多。那个特别二的毕达哥拉斯只是众多二的哥们中的一个，你翻翻古希腊历史，真的找不出几个不二的来。
翻翻古希腊历史，真的找不出几个不二的来
比如那个更二的芝诺给出了一个悖论，楞是证明了他们祖上的国王和英雄阿喀琉斯追不上乌龟。你说要是在咱这里，你要是想说秦始皇追不上乌龟，你就全家玩完，你要是碰上汉武帝，你还没有说出来就被腹诽治罪满门抄斩了，到了康熙乾隆，你一句“清风不识字”刚写完，就让你变成青烟了。
反正，据说是朱载堉发明12平均律比西方早了几十年，还把21/12的计算精确到了25位数。如果属实，这还真的有一点祖冲之的精神。但是毕达哥拉斯没有这个兴趣，不仅毕达哥拉斯没有兴趣，到了阿基米德也没有对具体数值的兴趣。你要是穿越2000多年回去，问古希腊数学家√2的具体数值，他们肯定给你一个边长为1的正方形，然后画一条对角线，告诉你这条对角线就是√2。
尼玛。你能够说他不对吗，这可是最正确的√2。古希腊人对任何近似值都不感兴趣。阿基米德早就知道怎么算圆周率，但是这哥们算了几步就不算了，他的想法很清楚：反正我都知道这个方法了，具体计算没意思，只要你肯花功夫，多少位数都可以算到。这种计算工作在古希腊被认为是一种“蓝领工作”，被认为应该是奴隶们干的。
中国的皇帝都像朱载堉就好啦
总之，要是中国的皇帝可以像朱载堉这样比较二，把时间花在计算音阶的频率上而不是放在宫廷政变和抢班夺权和焚书坑儒上，中国的事情就会好办很多。中国问题就是在于皇帝不够二，子民也不够二，并且子民不喜欢二的皇帝。子民们总是为那些发动宫廷政变和权力斗争的胜利夺取皇位的阴谋家喝彩，而很少为那些没有政治野心而只是想把自己的兴趣玩好的个人喝彩。总之，这个民族不够二，太一，于是就有一个国家，一个皇帝，一个声音，一个思想，反正后来就成了一统天下，然后一筹莫展，最后就一塌糊涂了。人家很二，后来就二党制；咱们不二，就……
调性和和弦
由于以上的原因，也就是由于我们的耳朵对于频率是否悦耳的判断，使得我们有了音阶。汉族的传统音阶比较简单，亦即所谓的五声音阶：1,2,3,5,6。没有4或7。别的民族的音阶可能比较复杂一些。西洋音阶不仅有4和7，而且经常有#4和b7。为什么#4和b7比较经常出现？因为它们最接近自然音阶：7（si）上行纯五度就是#4，而4下行纯五度就是b7。
尽管钢琴上的白键和黑键都是人为的，但是用来说明问题还是比较方便的。如果是C大调，那么就是以C为1（do）按照大调音阶生成的。在钢琴上就是全部白键。如果用绝对音高来表示，就是
C,D,E,F,G,A,B，这就是C大调的1,2,3,4,5,6,7（对照表一）。
但是我们并不想总是这样谱曲或者唱歌，比如一个人想把G当做1（do）来唱歌，这也没有什么不好。这时的绝对音高就会是这样的了：
G,A,B,C,D,E,#F
这是由于，大调音阶要求在第六和第七音之间是一个全音，但是却碰到了E到F是一个半音的现实，于是不得不把F升半音，这样就解决了问题。
如果一个人想把D作为1来唱歌，那么音阶的情况就会是：
D,E,#F,G,A,B,#C
不仅F需要升半音，而且C也需要升半音。
那么有人想把F作为1来唱歌呢？这时音阶就变为
F,G,A,bB,C,D,E
我们看到自然音阶在第三和第四音之间需要是半音，而碰到的却是全音，于是就必须将B降半音。
如下是一个相当好用的办法，让你立即知道哪个调性需要有几个升降音，并知道升降哪几个音：
在一张纸上，先写1,2,3，然后把4,5,6,7错开插入，就变成：
4,1,5,2,6,3,7
或者写成绝对音高的形式：
F,C,G,D,A,E,B
好了，我们开始。我们从C开始。C大调没有升降号。那么在C右侧的G大调呢？G的位置是C+1，这里的1就是我们要观察的左侧的第一个位置，也就是F。这意味着：G大调有一个升号，升在F上。不信你打开你们家的钢琴盖子，仔细核对一下。
D大调：这是在C+2的位置上，我们就取左侧两个音符，也就是F和C。这意味着：D大调有两个升号，升在F和C上。
如果是F大调，此时是C-1的位置，那么我们就取右侧第一个位置，这是B。因此，F大调有一个降号，降在B上。
如果我们再降一个调，但是我们发现F左侧已经没有东西了，此时我们就绕到右侧，第一个是B，由于是从左侧绕道右侧的，这个B实际上是bB。这个降B调比C调左移了2个位置，既C-2，我们需要找到最右侧的两个，即B和E。因此，降B调有两个降号，降在了B和E上。
同样的原理，大家可以试试#C调的升降号。应该可以发现，其需要有7个升号，升在所有音阶上。
小调音阶和大调音阶的差别在于：其第三音总是降半音，而其第六音和第七音也经常降半音。如果审视一下C小调和C大调的区别：
C小调为：C,D,bE,F,G,bA,bB，而C大调是C,D,E,F,G,A,B。
按照我们以上的分析，c小调实际上是bE大调的音阶。于是，C小调和bE大调是很接近的。因此便有规律：一个大调和其下行小三度的小调拥有基本相同的音阶。比如C大调和A小调拥有基本相同的音阶。以此类推。
想知道贝多芬的九首交响曲用的是什么调式吗？
图表3：贝多芬的九首交响曲的调式
和弦又如何呢？由于这在维基百科上已经说得很多很好了，我和他们说的基本一致，因此就不必多说了。和谐给听众一种快感，这就是为什么音乐常常使用和弦。但是纯粹的完全的和谐却略显单调，比如对位和谐的是八度，比如C和c。拉过小提琴的人知道，当你在D弦上拉G这个音的时候，G弦（最里面的那根弦）会震动。而且振幅相当不小。这就是共鸣。
完全和谐是单调的，于是我们经常采用比较不单调的饱满的纯五度，也就是频率差为1/2的两个音符组成的和弦。比如C和G，这就比八度要饱满一些。但是这还不够，更加饱满的是大三和弦，也就是由三个音符组成，他们的音程是纯五度，大三度和小三度。这是一个十分明亮饱满的和弦。
再说，看到现在，你们头也大了。你们现在得出的结论不是音阶很容易，而是林炎平很二。但这不是林炎平的错，而是毕达哥拉斯的错，老毕才是始作俑者。
（未完待续）
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置顶卡
变色卡
千斤顶
