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音乐 数学 物理 老毕 和 二（三）
文：林炎平（蒙特利尔）
编者注：本文作者试图从美的最基本的基础之一——音乐的音程出发，去探讨人类科学和美的关系，他发现毕达哥拉斯是必要的起点。作者用了一些调侃的语言，希望这个有趣的话题不至于过于艰涩。
音域和音色
我们人的耳朵只能感知一定范围的声音频率，基本上就是在20Hz-20,000Hz。20Hz以下的叫次声，20,000Hz以上的叫超声，这两种声音我们都听不到。但是它们确实存在。次声对我们的健康有害，而超声有很多用途，比如医学上的B超成像检查，用的就是超声波。
乐器的频率非常有限，太低和太高的频率都令我们不悦，因此就不使用。比如我们的钢琴有88个键，其音域频率从最低的27.5Hz到4,186Hz。童鞋们不妨敲打一下钢琴上的最左侧和最右侧的键，已经可以感觉到太低和太高了。
钢琴确实音域很宽，有7个八度加4度，但是和耳朵可以听到的频率相比还是有限的。而我们人可以发出的声音频率就更加有限了。童鞋们可以一边敲钢琴的键，一边跟着唱，看看自己的音域有几个八度。如果你有一个半八度的音域，那就不错了。如果到两个八度，那就十分好了。如果可以到两个半八度，你就很有天赋了。不过记得不要在周围有人的时候试，免得把人吓跑了。也不要在夜深人静的时候试，免得有人报警，因为你努力唱高音的时候恐怕不会比喊救命更加优雅。
试试你能唱几个八度
如果你有两个八度的音域，而且发现你可以唱到C5，（亦即440 X 2 X 2 = 1760Hz）那你是男高音，而且天份好极了。要是你可以唱到低音C2（亦即440/2/2=110Hz），那你就是男低音，并且值得骄傲了，因为中国人低音好的不多。如果你可以唱到C6，（亦即440 X 2 X 2 X 2 = 3,520Hz），那你就是很好的女高音了。
图表4：男低音和女高音的音域
我们可以看到，实际上男低音和女高音的音域实际上是有一段是重合的。但是，为什么即便在重合的这一段，我们仍然可以分出哪个是男声，哪个是女声呢？这就是音色的不同造成的区别。这就如同我们很容易分辨小提琴、钢琴、小号、长笛的声音。它们可能发出的是同一个频率的音符，但是我们仍然很容易辨别是哪个乐器发出的。童鞋们，这是为什么呢？
当小提琴和长笛都奏出同一个频率的音符，比如C4（所谓Middle C）时，它们的基波相同，但是高次谐波却不相同。听起来这就是我们马上要进入直接从音乐爱好者变成疯子的节奏。在童鞋们变疯以前，我还是要再说几句。不想变疯的可以不听。
按照法国数学家傅里叶（Fourier，1768-1830）的发明和发现，任何一个振动都可以表述为数个或者无数个简谐振动的叠加。这里的所谓“简谐振动”就是正弦波振动。我们过去调钢琴的音高用的标准音叉产生的就是简谐振动，一个标准音叉只产生一种频率的简谐振动，而没有高次谐波，这样就避免由于高次谐波产生的一些不应该发生的共鸣的可能性。只有简谐振动可以做到这点，因为它没有高次谐波。
如下是傅里叶级数的表达式，说的就是上一段的意思。看到没有？N就是简谐振动的个数，它可以趋于无穷。
你相信吗，一个方形的波可以由无数个正弦波的叠加获得？我知道你不信，这就是你还没有变疯的证据。但是你很快就会变疯的。你看如下的图解：
图表5：一个方波可以由无数个正弦波叠加组成
图中蓝色的方形波在挑战我们的红色的正弦波：你要模仿我？你来啊！
好了，我们第一个正弦波（红色）来了，频率和方形波显然一样，两个波形的差距之大显而易见。很好，没有变疯。接着，第二个正弦波来了。这个正弦波具有两倍于方形波的频率以及较小的振幅，其和第一个正弦波叠加后，有那么一点点意思了。好像是方了一点？我是说疯了一点。接着再来第三个正弦波，其频率是方形波的三倍，振幅更小一些，以上三个正弦波叠加后显然波形更方了。我是说更疯了！经过四次叠加，我们就得到了一个相当方的波形。你还不信再叠加下去红色波形会越来越方并且最终和蓝色的方波彻底重合吗？傅里叶级数的误差分析就证明了：只要N趋向无穷，红波和蓝波之间的误差就趋于零。也就是说彻底重合。
我知道你已经变疯了！恭喜了！你向毕达哥拉斯迈进了一步。
现在我可以告诉你音色和音高的关系，以及音色的秘密了。那第一个正弦波，就是音高。后面所有的正弦波的叠加，就是音色！这就是你为什么可以听出长笛和小提琴的差别，这也是为什么你不会弄错男声和女声。
但是，未必。有的男声听起来像女声，反之亦然。这就是因为，由于某种原因他们的高次谐波也相同了。比如太监。
正是有了傅里叶级数，我们现在可以用电子合成任何乐器的声音。这就是你可以买一架电子琴，可以选择奏出各种乐器的声音。有电子琴吗？试试。合成的音色非常像原来的乐器，几可以假乱真。这就是用了傅里叶级数的原理，把钢琴的高次谐波加上去，你就听到了钢琴的声音；把小提琴的高次谐波加上去，你就听到了小提琴的声音。
令人不安和快乐的振动
振动既令人不安，也与人快感。如果你想到了地震和车震，那说明你还挺幽默。不过我们这里不说这个，只说广义的振动。
这种令人不安和与人快感的两难，却构成了某种人类创造文明的原动力。在不安和快感之间寻求某种平衡，是社会进步的一个重要途径。而音乐，正是这种进步的一个重要象征，亦即：让不安和快感产生刺激，却又达到和谐。这应该就是音乐的本质，也是人类社会进步的本质。
振动不可避免，英雄让振动成为音乐，并告诉你这样的美好可以通过理性获得；而枭雄让振动成为噪音，并告诉你这样的灾难不可避免。一个伟大的制度是让个体的振动保持足够的独立，并形成共同的和谐；而一个卑劣的制度是让所有个体都失去自由的振动，而让个别人去折腾所有个体。这就是为什么有的人群会有伟大的合唱，比如巴赫的大合唱，贝多芬的《欢乐颂》，而有的人群却只有在万马齐喑的集体静默和声嘶力竭的山呼万岁之间徘徊。
毕达哥拉斯在2600年前的那些对振动的研究，给我们带来了有关数学、物理和音乐之间关系的启迪。我不知道老毕当时把哪个作为他的优先级，数学？物理？音乐？我觉得这都不是他的所要追求的。他真正追求的是认识这个世界的奥秘。他把对世界本源的认识从具体的物质转向了抽象的概念：在物质的表象背后有着更加真实的本质，而这个本质可以不是物质的。在这个意义上，他超越了他的前辈泰勒斯和米利都学派。他是如此地极端，居然把世界和物质一刀两断，却把看不见摸不着的数认为是世界的本源，而物质只不过是其表象。以至于他的后来者德谟克利特的原子论几乎可以认为是泰勒斯们和毕达哥拉斯的思想的折衷。我不知德谟克利特是否真的折衷了毕达哥拉斯和泰勒斯，但是毕达哥拉斯充满勇气和智慧的论断应该足以让德谟克利特在提出世界万物都是由相同的不可再分的原子组成这一理论时少了一些犹豫。
老毕：追寻世界本源
我相信当时老毕也是非常痛恨无理数的。但是那个出格的门徒正是由于老毕的精神才发现了无理数。我不知道老毕应该是感到骄傲还是沮丧，无论哪种，都是他那个学派的光荣和悲伤。他们的探讨如此深刻地影响了几千年后的人类社会。我不知道今天还有多少人在大学毕业20年后还会复述老毕和其门徒的证明，不少甚至忘记了老毕，但是老毕仔细论证过的音程和它们之间的和谐或者协和令我们绝大多数人心驰神往。很少有人对任何音乐都不感兴趣。
据说“不懂音乐的人的人格是不健全的”。我非常相信这点。尽管我觉得老毕很二很疯，正是有了这样的疯子，我们这个世界才变得理性和明亮起来。如果这个世界没有音阶，将会是个什么样子。我相信，没有毕达哥拉斯也会有音阶，也会有音乐。但是，如果没有了毕达哥拉斯这些人所代表的精神，人类对于音乐的理解可能就不会是后来的样子，而且那些伟大的作品未必会问世。
老毕的发现是极其基础的，基础到没有人在欣赏音乐的时候会想到他。但是，如果说柴可夫斯基的音乐是优美的散文，贝多芬的音乐是伟大的史诗，那么毕达哥拉斯的音阶和和弦就是文字和语法。没有了文字和语法，任何散文或史诗都不可能存在。我们在欣赏优美的散文和伟大的史诗时，很少会想到文字和语法，它们的存在似乎是天经地义的。但是，历史告诉我们：并非如此。记住毕达哥拉斯吧！正是他，给出了音乐的文字和语法。这是音乐无法撼动的基石和永恒的理念。
确实，振动带给了我们的不安和快感。而和谐的音乐使得这种不安和快感升华为震撼心灵的天籁。我很愿意建议读者听贝多芬的第九交响曲以体验人类是如何将这种不安和快感登峰造极为如此伟大的音乐的。但是，在这里我却建议你在此时听一首很短小的曲子，其是众多伟大的曲子中的一首。我建议它，既是无意也是有意。请品尝和思考这首曲子。这就是Pachelbel（1653-1706）的“Canon in D”（D大调）。这是交响乐之尚未问世的1700年以前的曲子。Pachelbel比巴赫早30年，比贝多芬早100多年。它是音乐作为文艺复兴的成果的重要代表。 【1】
这首曲子和它的同时代的音乐一起，造就了巴洛克时代的音乐，也为巴赫和海顿铺平了道路，为贝多芬的登峰造极做好了准备。
贝多芬的音乐是令人极其不安的，它令人振奋，令人思索。他的音乐就是宣言：让令人不安和与人快乐的振动永远激励我们！
那些美丽背后的数学
我们介绍了Canon in D，其实，Canon并不是这首乐曲的名字，而是一种规则，Canon in D的意思是用Canon这个规则写的D大调乐曲。Canon是音乐应该尊重的完美的规则，并且，Canon作为一种美学规则，也不仅仅用于音乐，同样可以用于绘画。而实际上，Canon在绘画上的运用要比在音乐上早得多。
文艺复兴的绘画在艺术领域里最先体现了人本主义精神。波特切利在1482年创作的《春》和1486年创作的《维纳斯的诞生》是这个伟大新时代的先驱 。【2】在这里也顺便纪念一下吧。插图是这幅画的局部，当代好事者在画面添加的斐波那契级数地砖（Fibonacci Tiles）是为了说明Canon在绘画审美上的运用。（这将在下一节阐述）。
Pachelbel在此200年后创作的Canon in D，似乎是音乐对绘画先驱们的一个回音。至于为什么文艺复兴的精神在音乐上的体现要比在绘画上晚了200多年，这是一个很有趣的问题。到底为什么音乐的进步滞后于其它艺术的进步？这仅仅是中世纪走向文艺复兴的一个特例？还是一个普遍的规律？希望大家来寻找这个答案。
在公元前800年，古希腊的行吟诗人荷马在希腊城邦间云游的时候，我们今天只知道他吟诵的内容，以及使用的乐器，但是并不知道他吟唱的旋律。那些旋律永久消失在历史的尘埃里了，而这些史诗所传唱的古希腊理念却在希腊地区形成了共同的文化和价值，进而产生了独特的民主政治和自由理念。如果没有荷马和他的史诗，我相信古希腊不会有泰勒斯和赫拉克利特，也不会有梭伦以及后来的克里斯蒂尼和伯利克，也不会有苏格拉底、柏拉图和亚里斯多德，也不会有埃拉托色尼和阿里斯塔克。当然，也不会有毕达哥拉斯。介于荷马史诗的传唱和此后城邦政治的繁荣之间的毕达哥拉斯和他的学派到底起了什么作用？这也许是一个无法彻底在这里讨论清楚的问题。但是，我们可以肯定，毕达哥拉斯的意义跨越了当时的空间也跨越了此后的时间。
图表6：波特切利的《维纳斯的诞生》局部和可能的斐波那契级数的审美意义（Canon） 【3】
古希腊和毕达哥拉斯时代的音乐已经不可考了，音乐不像建筑，后者几乎与世长存，但是前者却瞬时即逝。但是伟大的音乐一定以其的深厚和振奋把自己凝固在当时的建筑中，我相信任何时代的建筑都体现了那个时代的音乐。音乐是流动的建筑，而建筑则是凝固的音乐。音乐是振动在时域中表现的动感，而建筑是振动在频域中表现的静态。（我这里提到了“时域”和“频域”，这是两个术语，不谙数学物理的童鞋可以不理会它们，只要知道“时域”是关于动态时间的坐标，“频域”是关于固定频率的坐标。）
毕达哥拉斯证明了音乐和数学物理之间有着非常紧密的关系，这和“毕达哥拉斯”定理的意义同样深远。
如果没有数学，也就不会有物理。没有了数学和物理，人类社会还剩下什么？洪荒一片，这而绝非危言耸听。而没有了数学规律，也就没有了音乐，人类社会将只有噪音。
音乐一定是通过数学和物理更加长久地成为我们人类精神上的永久建筑。
数学、音乐和物理同样重要，这就是为什么在毕达哥拉斯之后2000年，文艺复兴时代的伽利略如是说“上帝是通过数学创造了宇宙”。他的时代还不能接受他真正想说的话“只有数学不可怀疑”。这是毕达哥拉斯“数是万物之源”在2000年后的伟大回音和共鸣。
如果以上写的让你对音乐的物理数学原理有了一点了解，让你有了一些探讨音乐背后的理念的理由，让你对音乐本身有了一些兴趣，那就请你谢谢毕达哥拉斯吧！
1 https://www.youtube.com/watch?v=JvNQLJ1_HQ0（Pachelbel Canon in D Major - the original version）国内的朋友只好在别的音乐网站上找，或者直接在iTune上下载。
2 https://artislimited.wordpress.c ... rt-the-golden-mean/
3 参见卡农的美学意义http://en.wikipedia.org/wiki/Aesthetic_canon
（未完待续）
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